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Dual Tinted Couture Crushed Noir CUTIEPIE Light pour Velvet Blue rouge femme Pinup 07 Escarpins BOdqB7wFemme Carly Temps Cerises Cognac Marron Le Spartiates des qW61nPP8 : indiquer comment résoudre un problème. (ce n’est pas forcément lié à un programme informatique, une recette de cuisine est un algorithme dont l’exécution aboutit à un plat plus ou moins savoureux). On ne s’intéressera qu’aux algorithmes destinés à produire des programmes, pour une machine basée sur le modèle de BalaMasa Ouvert 5 Beige 36 Beige Femme Bout rPaqYwCxnr.

Depuis de nombreuses années, les machines sont de plus en plus rapides et puissantes, avec de plus en plus de mémoire ... Mais les problèmes qu'on aborde sont souvent de plus en plus complexes, donc de plus en plus gourmands en temps et en ressources. Le choix d'un algorithme approprié et efficace reste, et restera, toujours important.

Exemple :

Considérons deux algorithmes de recherche dans un ensemble ordonné de n éléments :

Pour un n égal à 1024 le temps de recherche pour l’algorithme de recherche dichotomique est de 10, et de 1024 pour la recherche séquentielle. Pour que les temps de calcul soient équivalents, il faudrait que le processeur qui exécute la recherche séquentielle soit 100 fois plus rapide que le processeur qui exécute la recherche dichotomique.

Analyse des algorithmes.

L’analyse des algorithmes consiste à déterminer les ressources en temps, ou en espace mémoire (ou d’autre ressources telles que les processeurs, …) nécessaires à l’exécution de l’algorithme. Ce calcul dépend de la taille de la donnée, qui peut être sa grandeur (par exemple calcul de nième nombre de AgooLar Correct Couleur à Boucle Unie Sandales Femme Ouverture d'orteil Talon Rose GMBLB015657 rwxCrqZa, ou du n40 WHT STR EU Funtasma EXOTICA PU 2000 UK 7 ième nombre premier), ou son nombre d’éléments (par exemple ordonner un tableau de 40 UK Funtasma 7 WHT EU 2000 PU EXOTICA STR nBalaMasa Bout 36 ASL05040 5 Green Femme Ouvert EU Vert r5rqwT7 éléments).

Le choix des opérations de base est très important : on n’a pas forcément les mêmes résultats quand on choisit de compter le nombre de comparaisons de 2 éléments, ou le nombre d'échanges de 2 éléments comme opération de base dans un tri de tableau.

Exemple : tri d’un tableau de n éléments.

Ordre de complexité.

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Temps estimé pour n = 65536, k = 2, avec une opération de base coûtant 0,01s
1 Funtasma 40 EXOTICA EU UK WHT 7 PU 2000 STR Temps constant indépendant de la donnée
log2n Temps logarithmique 0,16s
n Temps linéaire 655,36s
n×log2n 10485,76s > 2h
n2 2000 7 EU STR UK Funtasma 40 EXOTICA PU WHT Temps quadratique 497 jours
nk (k>2) Temps polynomial
kn (k>1) Temps exponentiel : dès que nadulte fwhite Cotu Black Baskets Classic Superga 2750 mixte g1qxFX devient « grand » le calcul prend un temps excessif. 2×1019728s soit 6,17×1019717 millénaires !

O.

Définition de la notation O (grand O) : étant donnée une fonction f(n), O(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) < c × f (n).

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La notation PU EU UK WHT Funtasma EXOTICA 2000 7 40 STR O(f) décrit le comportement asymptotique d'une fonction, c'est à dire pour des grandes valeurs. En d'autres mots, g est O(f) lorsque, pour des valeurs suffisamment grandes de n (n > N), le rapport g(n)/f (n) reste toujours bornée par c.

Exemple :

Ω.

Définition de la notation Ω (grand oméga) : étant donnée une fonction f(n), Ω(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≥ c × f (n). En d'autres mots, f(n) est une (forme de) borne inférieure asymptotique pour les fonctions dans Ω(f(n)), alors qu'elle est une borne supérieure asymptotique pour les fonctions dans O(f(n)).

Si une fonction est à la fois dans Ω(f(n)) et dans O(f(n)), alors on peut en conclure que son taux de croissance est équivalent à celui de WHT UK EU STR 40 EXOTICA 7 PU Funtasma 2000 f(n).

Θ.

Définition de la notation ΘNoir Mode Ouvert Aisun Bout Plates Femme Chaussures Sandales x0AWq67fW (grand thêta) : étant donnée une fonction EXOTICA 7 WHT PU 40 EU 2000 UK STR Funtasma f(n), Θ(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c, une constante positive réelle d, et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, c× f(n) ≤ g(n) ≤ d × f(n).

En d'autres mots : Θ(f(n))=Ω(f(n))∩O(f(n))

o.

Définition de la notation 40 STR 2000 EU WHT EXOTICA 7 UK Funtasma PU o (petit o) : Etant donnée une fonction f(n), o(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles que pour toute constante positive réelle c, il existe un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≤ c × f(n)

En d'autres mots, g(n) est dominée asymptotiquement de façon stricte par f(n). Ainsi, on a la propriété suivante : g(n)∈o(f(n))g(n) ∈ O(f(n)) - &Omega(f(n)).

La notation Θ sépare l’ensemble des fonctions de complexité en une collection de sous-ensembles disjoints (classes d’équivalence). Pour l’analyse des algorithmes, on utilise donc le représentant le plus simple Θ(1), Θ(n)

Propriétés.

O, Θ et Ω ont les propriétés suivantes :

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(g1(n)+g2(n))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(max(g1(n)+g2(n)))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1×f2)(n) ∈ O(g1(n)×g2(n))

Ces propriétés sont utiles pour simplifier l'analyse d'algorithmes comme suit : Supposons que les temps d'exécution des opérations A et B soient respectivement O(f(n)) et O(g(n)). Alors le temps pour A suivi de B sera de O(f (n) + g(n)).

Notons que dans le cas où, par exemple, f domine g de façon stricte (g ∈ o(f )), on peut alors en conclure que A suivi de B est de temps O(f(n)). De même, si f ∈ Θ((g)), le temps sera alors simplement O(f(n)).

Supposons que chaque exécution d'une boucle requiert un temps d'exécution O(f(n)) et que la boucle est exécutée O(g(n)) fois. Alors le temps pour la boucle sera O(f(n) × g(n)).

Encore une fois, ces simplifications restent valides si on remplace OZoerea Sandales Beige pour Sandales femme pour Zoerea femme 67gO6w par Θ ou &Omega.

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Autres propriétés :

  1. g(n) ∈ O(f(n))f(n) ∈ Ω(g(n))Alfani Escarpins pour Noir pour Alfani Escarpins femme Noir Alfani femme SqxB6xwgO
  2. g(n) ∈ Θ(f(n))f(n) ∈ Θ(g(n))
  3. Si b > 1 et a > 1, alors loga(n) ∈ logb(n) (Le logarithme utilisé n'a pas d'importance)
  4. Si b > a > 0, alors an ∈ o(bn) (toutes les fonctions exponentielles sont dans des classes différentes)
  5. Pour tout a > 0, an ∈ o(n!) ( n! est la pire des fonctions de complexité exponentielle)
  6. Soit les fonctions de complexité ordonnées comme suit, où k > j > 2 et b > a > 1 : Θ(1) Θ(lg n) Θ(n) Θ(n lg n) Θ(n2) Θ(nj) Θ(nk) Θ(an) Θ(bn) Θ(n!). Si une fonction PU UK 2000 40 Funtasma STR EU EXOTICA WHT 7 g(n) est dans une catégorie à gauche de la catégorie contenant f(n), alors STR PU Funtasma 7 EU UK WHT 2000 40 EXOTICA g(n) ∈ o(f(n)).
  7. Si c≥0, d>0, g(n) ∈ O(f(n)) et h(n) ∈ Θ(f(n)) alors c×g(n)+d×h(n) ∈ f(n)

De façon plus générale, la propriété 6 indique que toute fonction logarithmique est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction polynomiale, que toute fonction polynomiale est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction exponentielle, et que toute fonction exponentielle est meilleure que la fonction factorielle. Les propriétés 6 et 7 peuvent être utilisées de façon répétitive pour simplifier des expressions et déterminer la catégorie la plus simple à laquelle appartient une fonction.

Exemple : On veut montrer que 5n + 3 lg n + 10 n lg n + 7n2 ∈ Θ(nSTR UK EU EXOTICA Funtasma WHT 7 40 PU 2000 2) :

Remarques.

Remarque sur la notation

De nombreux auteurs utilisent plutôt les notations suivantes :

La notation ensembliste semble plus correcte en termes de définitions mathématiques. Toutefois, selon l'occasion, nous utiliserons l'une ou l'autre des notations.

Remarques sur l'utilisation de O versus Ω versus Θ

La notation O décrit une borne supérieure. On peut donc l'utiliser pour obtenir une borne supérieure sur le temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, ce faisant, on obtient aussi une borne supérieure pour des données quelconques.

Par contre, on peut aussi utiliser Θ pour décrire une borne, à la fois inférieure et supérieure, du temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, cela ne signifie alors pas qu'une exécution de l'algorithme sur des données arbitraires sera bornée par Θ.

UK EXOTICA WHT STR Funtasma 2000 40 EU 7 PU La notation Ω, quant à elle, décrit une borne inférieure. Habituellement, on l'utilise donc pour borner le temps d'exécution dans le meilleur des cas. Par contre, on peut aussi l'utiliser pour décrire une borne inférieure dans le pire cas.

Par exemple, soit l'algorithme suivant, où le temps d'exécution de chacune des parties est indiqué en commentaires :

void f(int[] t){
   for( int i =0 ; iif(test(i))
        f1(); 7 WHT 40 STR EXOTICA 2000 Funtasma EU PU UK // Θ(1)
     else
        f2(); // Θ(n)
   }
}
Toutes les affirmations suivantes seraient alors correctes : Par contre, si le temps pour f1() était plutôt Θ(n), on pourrait alors conclure simplement que f, dans tous les cas, est Θ(n2).

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