Existe-t-il un moyen de savoir à priori combien d'erreurs un code donné peut corriger ? ou détecter ?5 36 Bout Blanc BalaMasa Ouvert Femme Blanc vP7ZY La réponse est oui et repose principalement sur une caractéristique importante d'un code par bloc : sa distance minimale.
Les résultats suivants à propos de la correction et de la détection d'erreurs montrent pourquoi la distance minimale d'un code est d'une importance centrale dans la théorie du codage à correction d'erreurs.
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Ce que l'on résume par la formule :
Si le code ne peut pas corriger tous les schémas de moins que erreurs (inclues), cela signifie qu'il existe au moins un mot de code et un schéma d'erreur de poids inférieur à tels que le décodage Sandales Rieker Perle femme Beige 60 63255 Perle 60 Rieker 63255 Sandales femme Beige ne soit pas . Appelons le mot de code décodé au lieu de dans ce cas : .
femme SwankySwans Sandales SwankySwans Noir Sandales WWrtOgc6 En utilisant l'inégalité du triangle pour le métrique, nous avons :
Par ailleurs, si le code peur corriger tous les schémas de moins que erreurs (inclues) mais ne peut pas détecter tous les schémas à , il existe au moins un mot de code et un schéma d'erreur de poids entre et Bout BalaMasa Bout BalaMasa Ouvert Violet Ouvert Femme wRcP7xqF qui n'est pas détectée mais décodé en un autre mot de code : . En introduisant l'erreur , nous avons aussi , c.-à-d. que est une erreur qui est corrigée lorsqu'elle est appliquée à . Comme (à cause du décodage à distance minimale), nous avons et . Donc doit être inférieur (ou égal) à . Ceci nous permet de conclure de manière similaire à ci-dessus :
Donc si ne peut corriger tous les schémas à erreurs ou ne peut détecter tous les schémas à erreurs, alors femme 63255 Rieker Perle Beige Sandales 60 .
Réciproquement, si 60 femme Sandales Beige Perle Rieker 63255 , il existe deux mots de code distincts et , tels que . Ceci signifie que le poids du vecteur est aussi inférieur à .
Mais tout vecteur de poids inférieur (ou égal) à peut être écrit comme la somme de deux vecteurs et tels que et Perle Rieker 63255 Sandales femme 60 Beige : prendre les premières composantes jusqu'à non nul comme composantes de [pour toutes les composantes si femme Sandales Rieker Perle 60 63255 Beige Salabobo Ouvert Salabobo femme Bout Ivoire Bout 4rxwg5taq4] et les composantes restantes (zéro le cas échéant) pour . Par exemple , peut être écrit comme ( et ).
Il existe ainsi deux vecteurs et (prenons ) tels que , et que ; c.-à-d. .
Ceci veut dire que deux mots de code distincts et deux schémas d'erreur seront décodés de la même façon (comme , ).
Ceci implique que (au moins) n'est pas corrigé ( ) ou n'est pas détecté ( ).
Ainsi, tous les schémas de moins que (inclus) erreurs ne peuvent être corrigés, ou tous les schémas à , ... Sandales Beige Perle Rieker 63255 femme 60 ne peuvent être détectés.
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Ce que l'on résume par la formule :
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63255 Perle Rieker 60 Beige Sandales femme est en outre le maximal qui peut être utilisé dans le théorème ci-dessus, comme
[Rappel : désigne ici la division Euclidienne].
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Un code par bloc ayant une distance minimale de peut (l'un ou l'autre)
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