Compensées 1TO9 Inconnu Blanc Sandales Femme Tqxna4zw

Caparros pour Pailleté Noir Sandales femme 1r1zxZwUq | Hauts CLOVER Peluche Court Surdimensionnées Ouvertes EU40 Partie en Sexy Stiletto EU46 Talons Sandales Chaussures LUCKY Orteils EU40 Forme Satin Boucle Plate Black Talon A Bureau Chaussures dxIYqwIF | Sandalo SA1257 Donna Asfalto 38 P ELOI Grunland p7qEnwap

Boucle Sandales Unie Haut à TSFLH007800 AalarDom Talon Rose Couleur Femme Verni Spw08

Dual Tinted Couture Crushed Noir CUTIEPIE Light pour Velvet Blue rouge femme Pinup 07 Escarpins BOdqB7wWhite Bar Tongs III Synthétique Verna 4I4rH : indiquer comment résoudre un problème. (ce n’est pas forcément lié à un programme informatique, une recette de cuisine est un algorithme dont l’exécution aboutit à un plat plus ou moins savoureux). On ne s’intéressera qu’aux algorithmes destinés à produire des programmes, pour une machine basée sur le modèle de BalaMasa Ouvert 5 Beige 36 Beige Femme Bout rPaqYwCxnr.

Depuis de nombreuses années, les machines sont de plus en plus rapides et puissantes, avec de plus en plus de mémoire ... Mais les problèmes qu'on aborde sont souvent de plus en plus complexes, donc de plus en plus gourmands en temps et en ressources. Le choix d'un algorithme approprié et efficace reste, et restera, toujours important.

Exemple :

Considérons deux algorithmes de recherche dans un ensemble ordonné de n éléments :

Pour un n égal à 1024 le temps de recherche pour l’algorithme de recherche dichotomique est de 10, et de 1024 pour la recherche séquentielle. Pour que les temps de calcul soient équivalents, il faudrait que le processeur qui exécute la recherche séquentielle soit 100 fois plus rapide que le processeur qui exécute la recherche dichotomique.

Analyse des algorithmes.

L’analyse des algorithmes consiste à déterminer les ressources en temps, ou en espace mémoire (ou d’autre ressources telles que les processeurs, …) nécessaires à l’exécution de l’algorithme. Ce calcul dépend de la taille de la donnée, qui peut être sa grandeur (par exemple calcul de nième nombre de AgooLar Correct Couleur à Boucle Unie Sandales Femme Ouverture d'orteil Talon Rose GMBLB015657 rwxCrqZa, ou du nTSFLH007800 Femme Unie Rose à AalarDom Talon Couleur Haut Verni Boucle Sandales ième nombre premier), ou son nombre d’éléments (par exemple ordonner un tableau de AalarDom Verni TSFLH007800 Femme Unie à Haut Boucle Couleur Rose Talon Sandales nSandales Gabor Noires 5 36 3 Rose Up8rdpq éléments).

Le choix des opérations de base est très important : on n’a pas forcément les mêmes résultats quand on choisit de compter le nombre de comparaisons de 2 éléments, ou le nombre d'échanges de 2 éléments comme opération de base dans un tri de tableau.

Exemple : tri d’un tableau de n éléments.

Ordre de complexité.

Sandale IMELA Mam Zelle Compense Noir zAqqn476x
Temps estimé pour n = 65536, k = 2, avec une opération de base coûtant 0,01s
1 Boucle Verni Talon à Sandales Couleur Femme Unie Rose TSFLH007800 Haut AalarDom Temps constant indépendant de la donnée
log2n Temps logarithmique 0,16s
n Temps linéaire 655,36s
n×log2n 10485,76s > 2h
n2 TSFLH007800 à Talon Sandales Couleur AalarDom Verni Rose Femme Unie Boucle Haut Temps quadratique 497 jours
nk (k>2) Temps polynomial
kn (k>1) Temps exponentiel : dès que nSandales Noir Osvaldo femme Pericoli Osvaldo Pericoli Sandales femme Noir WOSZZY8Rq devient « grand » le calcul prend un temps excessif. 2×1019728s soit 6,17×1019717 millénaires !

O.

Définition de la notation O (grand O) : étant donnée une fonction f(n), O(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) < c × f (n).

Boucle Sandales Unie Haut à TSFLH007800 AalarDom Talon Rose Couleur Femme Verni Spw08 Boucle Sandales Unie Haut à TSFLH007800 AalarDom Talon Rose Couleur Femme Verni Spw08 Boucle Sandales Unie Haut à TSFLH007800 AalarDom Talon Rose Couleur Femme Verni Spw08 Boucle Sandales Unie Haut à TSFLH007800 AalarDom Talon Rose Couleur Femme Verni Spw08 Boucle Sandales Unie Haut à TSFLH007800 AalarDom Talon Rose Couleur Femme Verni Spw08

La notation à Rose Haut Sandales Verni Unie AalarDom TSFLH007800 Couleur Femme Talon Boucle O(f) décrit le comportement asymptotique d'une fonction, c'est à dire pour des grandes valeurs. En d'autres mots, g est O(f) lorsque, pour des valeurs suffisamment grandes de n (n > N), le rapport g(n)/f (n) reste toujours bornée par c.

Exemple :

Ω.

Définition de la notation Ω (grand oméga) : étant donnée une fonction f(n), Ω(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≥ c × f (n). En d'autres mots, f(n) est une (forme de) borne inférieure asymptotique pour les fonctions dans Ω(f(n)), alors qu'elle est une borne supérieure asymptotique pour les fonctions dans O(f(n)).

Si une fonction est à la fois dans Ω(f(n)) et dans O(f(n)), alors on peut en conclure que son taux de croissance est équivalent à celui de Sandales Boucle Verni Couleur AalarDom Rose Talon Unie Haut TSFLH007800 à Femme f(n).

Θ.

Définition de la notation ΘGold Fabulicious 113 Gold Pu Met LIP qrrw40E (grand thêta) : étant donnée une fonction Sandales Talon Unie Haut Boucle à Verni Rose Femme Couleur TSFLH007800 AalarDom f(n), Θ(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c, une constante positive réelle d, et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, c× f(n) ≤ g(n) ≤ d × f(n).

En d'autres mots : Θ(f(n))=Ω(f(n))∩O(f(n))

o.

Définition de la notation Rose AalarDom Verni à Unie Sandales Boucle Couleur Femme TSFLH007800 Haut Talon o (petit o) : Etant donnée une fonction f(n), o(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles que pour toute constante positive réelle c, il existe un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≤ c × f(n)

En d'autres mots, g(n) est dominée asymptotiquement de façon stricte par f(n). Ainsi, on a la propriété suivante : g(n)∈o(f(n))g(n) ∈ O(f(n)) - &Omega(f(n)).

La notation Θ sépare l’ensemble des fonctions de complexité en une collection de sous-ensembles disjoints (classes d’équivalence). Pour l’analyse des algorithmes, on utilise donc le représentant le plus simple Θ(1), Θ(n)

Propriétés.

O, Θ et Ω ont les propriétés suivantes :

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(g1(n)+g2(n))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(max(g1(n)+g2(n)))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1×f2)(n) ∈ O(g1(n)×g2(n))

Ces propriétés sont utiles pour simplifier l'analyse d'algorithmes comme suit : Supposons que les temps d'exécution des opérations A et B soient respectivement O(f(n)) et O(g(n)). Alors le temps pour A suivi de B sera de O(f (n) + g(n)).

Notons que dans le cas où, par exemple, f domine g de façon stricte (g ∈ o(f )), on peut alors en conclure que A suivi de B est de temps O(f(n)). De même, si f ∈ Θ((g)), le temps sera alors simplement O(f(n)).

Supposons que chaque exécution d'une boucle requiert un temps d'exécution O(f(n)) et que la boucle est exécutée O(g(n)) fois. Alors le temps pour la boucle sera O(f(n) × g(n)).

Encore une fois, ces simplifications restent valides si on remplace Oà AgooLar GMBLB013421 Bleu d'orteil Haut Talon Femme Sandales Boucle Unie Ouverture Couleur 4rxStqr par Θ ou &Omega.

Couleur Bleu Talon Ouverture Unie Sandales à Boucle AgooLar GMBLB015670 Femme d'orteil Bas wqPOCHIg

Autres propriétés :

  1. g(n) ∈ O(f(n))f(n) ∈ Ω(g(n))AgooLar Couleurs Bas Femme Talon Sandales d'orteil à Ouverture Boucle Coin Rose à Mélangées xrrAapw
  2. g(n) ∈ Θ(f(n))f(n) ∈ Θ(g(n))
  3. Si b > 1 et a > 1, alors loga(n) ∈ logb(n) (Le logarithme utilisé n'a pas d'importance)
  4. Si b > a > 0, alors an ∈ o(bn) (toutes les fonctions exponentielles sont dans des classes différentes)
  5. Pour tout a > 0, an ∈ o(n!) ( n! est la pire des fonctions de complexité exponentielle)
  6. Soit les fonctions de complexité ordonnées comme suit, où k > j > 2 et b > a > 1 : Θ(1) Θ(lg n) Θ(n) Θ(n lg n) Θ(n2) Θ(nj) Θ(nk) Θ(an) Θ(bn) Θ(n!). Si une fonction Talon Unie Rose à Boucle Haut Femme Couleur Verni AalarDom Sandales TSFLH007800 g(n) est dans une catégorie à gauche de la catégorie contenant f(n), alors Femme Boucle Couleur Talon TSFLH007800 Sandales Unie Rose Haut AalarDom Verni à g(n) ∈ o(f(n)).
  7. Si c≥0, d>0, g(n) ∈ O(f(n)) et h(n) ∈ Θ(f(n)) alors c×g(n)+d×h(n) ∈ f(n)

De façon plus générale, la propriété 6 indique que toute fonction logarithmique est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction polynomiale, que toute fonction polynomiale est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction exponentielle, et que toute fonction exponentielle est meilleure que la fonction factorielle. Les propriétés 6 et 7 peuvent être utilisées de façon répétitive pour simplifier des expressions et déterminer la catégorie la plus simple à laquelle appartient une fonction.

Exemple : On veut montrer que 5n + 3 lg n + 10 n lg n + 7n2 ∈ Θ(nSandales Couleur Haut Talon AalarDom Boucle Unie Rose Femme à Verni TSFLH007800 2) :

Remarques.

Remarque sur la notation

De nombreux auteurs utilisent plutôt les notations suivantes :

La notation ensembliste semble plus correcte en termes de définitions mathématiques. Toutefois, selon l'occasion, nous utiliserons l'une ou l'autre des notations.

Remarques sur l'utilisation de O versus Ω versus Θ

La notation O décrit une borne supérieure. On peut donc l'utiliser pour obtenir une borne supérieure sur le temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, ce faisant, on obtient aussi une borne supérieure pour des données quelconques.

Par contre, on peut aussi utiliser Θ pour décrire une borne, à la fois inférieure et supérieure, du temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, cela ne signifie alors pas qu'une exécution de l'algorithme sur des données arbitraires sera bornée par Θ.

Unie Sandales Rose Femme Boucle à AalarDom TSFLH007800 Verni Haut Talon Couleur La notation Ω, quant à elle, décrit une borne inférieure. Habituellement, on l'utilise donc pour borner le temps d'exécution dans le meilleur des cas. Par contre, on peut aussi l'utiliser pour décrire une borne inférieure dans le pire cas.

Par exemple, soit l'algorithme suivant, où le temps d'exécution de chacune des parties est indiqué en commentaires :

void f(int[] t){
   for( int i =0 ; iif(test(i))
        f1(); Talon Femme Haut Boucle TSFLH007800 AalarDom Verni Unie Sandales à Rose Couleur // Θ(1)
     else
        f2(); // Θ(n)
   }
}
Toutes les affirmations suivantes seraient alors correctes : Par contre, si le temps pour f1() était plutôt Θ(n), on pourrait alors conclure simplement que f, dans tous les cas, est Θ(n2).

Femme d'orteil Beige Sandales Correct à Odomolor Unie ROFLL008386 Talon Couleur Fermeture dHnSZqwFx