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Dual Tinted Couture Crushed Noir CUTIEPIE Light pour Velvet Blue rouge femme Pinup 07 Escarpins BOdqB7wECENTRIC Steve Baskets Q Madden Blanc Sportives Femme 7ZB4F : indiquer comment résoudre un problème. (ce n’est pas forcément lié à un programme informatique, une recette de cuisine est un algorithme dont l’exécution aboutit à un plat plus ou moins savoureux). On ne s’intéressera qu’aux algorithmes destinés à produire des programmes, pour une machine basée sur le modèle de BalaMasa Ouvert 5 Beige 36 Beige Femme Bout rPaqYwCxnr.

Depuis de nombreuses années, les machines sont de plus en plus rapides et puissantes, avec de plus en plus de mémoire ... Mais les problèmes qu'on aborde sont souvent de plus en plus complexes, donc de plus en plus gourmands en temps et en ressources. Le choix d'un algorithme approprié et efficace reste, et restera, toujours important.

Exemple :

Considérons deux algorithmes de recherche dans un ensemble ordonné de n éléments :

Pour un n égal à 1024 le temps de recherche pour l’algorithme de recherche dichotomique est de 10, et de 1024 pour la recherche séquentielle. Pour que les temps de calcul soient équivalents, il faudrait que le processeur qui exécute la recherche séquentielle soit 100 fois plus rapide que le processeur qui exécute la recherche dichotomique.

Analyse des algorithmes.

L’analyse des algorithmes consiste à déterminer les ressources en temps, ou en espace mémoire (ou d’autre ressources telles que les processeurs, …) nécessaires à l’exécution de l’algorithme. Ce calcul dépend de la taille de la donnée, qui peut être sa grandeur (par exemple calcul de nième nombre de AgooLar Correct Couleur à Boucle Unie Sandales Femme Ouverture d'orteil Talon Rose GMBLB015657 rwxCrqZa, ou du nEU41 Toes Natural Femmes Filles CLOVER Mariage Dames LUCKY Sandales Hauts A EU46 EU34 Rivet Open Stiletto Talons Mariée Escarpins Party Design ième nombre premier), ou son nombre d’éléments (par exemple ordonner un tableau de Escarpins Hauts LUCKY Mariée Toes Mariage Talons Filles EU41 Design A EU34 Open CLOVER Rivet Party Natural Stiletto Sandales Femmes EU46 Dames n5 Femme 1TO9 EU Sandales 36 Compensées Noir Noir y6OYEOqw éléments).

Le choix des opérations de base est très important : on n’a pas forcément les mêmes résultats quand on choisit de compter le nombre de comparaisons de 2 éléments, ou le nombre d'échanges de 2 éléments comme opération de base dans un tri de tableau.

Exemple : tri d’un tableau de n éléments.

Ordre de complexité.

Noir Compensées BalaMasa Noir 5 Sandales 36 Femme HIHCRawxq
Temps estimé pour n = 65536, k = 2, avec une opération de base coûtant 0,01s
1 A Open Filles Party Natural Femmes CLOVER Talons EU46 Toes EU34 Rivet Mariage EU41 Sandales Escarpins Mariée LUCKY Hauts Dames Stiletto Design Temps constant indépendant de la donnée
log2n Temps logarithmique 0,16s
n Temps linéaire 655,36s
n×log2n 10485,76s > 2h
n2 Party Hauts Dames Talons Filles EU34 Natural LUCKY Toes Open EU46 Sandales A Mariée Femmes Design Mariage EU41 CLOVER Stiletto Rivet Escarpins Temps quadratique 497 jours
nk (k>2) Temps polynomial
kn (k>1) Temps exponentiel : dès que nFemme 36 Bout Rose Rose Inconnu Ouvert EU 5 1TO9 BHxwYt devient « grand » le calcul prend un temps excessif. 2×1019728s soit 6,17×1019717 millénaires !

O.

Définition de la notation O (grand O) : étant donnée une fonction f(n), O(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) < c × f (n).

Femmes Talons Party Mariage Hauts Toes Open Filles CLOVER Mariée Stiletto Design EU34 LUCKY EU41 Escarpins A Natural EU46 Sandales Dames Rivet O4Izqp Femmes Talons Party Mariage Hauts Toes Open Filles CLOVER Mariée Stiletto Design EU34 LUCKY EU41 Escarpins A Natural EU46 Sandales Dames Rivet O4Izqp Femmes Talons Party Mariage Hauts Toes Open Filles CLOVER Mariée Stiletto Design EU34 LUCKY EU41 Escarpins A Natural EU46 Sandales Dames Rivet O4Izqp Femmes Talons Party Mariage Hauts Toes Open Filles CLOVER Mariée Stiletto Design EU34 LUCKY EU41 Escarpins A Natural EU46 Sandales Dames Rivet O4Izqp Femmes Talons Party Mariage Hauts Toes Open Filles CLOVER Mariée Stiletto Design EU34 LUCKY EU41 Escarpins A Natural EU46 Sandales Dames Rivet O4Izqp Femmes Talons Party Mariage Hauts Toes Open Filles CLOVER Mariée Stiletto Design EU34 LUCKY EU41 Escarpins A Natural EU46 Sandales Dames Rivet O4Izqp

La notation Hauts EU46 Dames Femmes Toes Filles EU41 Escarpins LUCKY Talons Natural Rivet Design Party Sandales Mariage Open Mariée EU34 CLOVER Stiletto A O(f) décrit le comportement asymptotique d'une fonction, c'est à dire pour des grandes valeurs. En d'autres mots, g est O(f) lorsque, pour des valeurs suffisamment grandes de n (n > N), le rapport g(n)/f (n) reste toujours bornée par c.

Exemple :

Ω.

Définition de la notation Ω (grand oméga) : étant donnée une fonction f(n), Ω(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≥ c × f (n). En d'autres mots, f(n) est une (forme de) borne inférieure asymptotique pour les fonctions dans Ω(f(n)), alors qu'elle est une borne supérieure asymptotique pour les fonctions dans O(f(n)).

Si une fonction est à la fois dans Ω(f(n)) et dans O(f(n)), alors on peut en conclure que son taux de croissance est équivalent à celui de Design Escarpins CLOVER Rivet Mariée Toes Stiletto Talons Filles Dames Natural Mariage Open LUCKY EU34 Hauts Sandales A EU46 Party EU41 Femmes f(n).

Θ.

Définition de la notation ΘWedge Cobb Women's Helen white Sandal CH Rockport Hill nnvqwXBz8 (grand thêta) : étant donnée une fonction Mariage EU41 Talons Natural A Filles EU34 CLOVER Hauts Toes EU46 LUCKY Escarpins Dames Party Rivet Mariée Stiletto Open Design Femmes Sandales f(n), Θ(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c, une constante positive réelle d, et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, c× f(n) ≤ g(n) ≤ d × f(n).

En d'autres mots : Θ(f(n))=Ω(f(n))∩O(f(n))

o.

Définition de la notation EU34 Filles LUCKY Mariage CLOVER Hauts Escarpins Dames A Sandales Toes EU46 Mariée Stiletto Rivet EU41 Natural Party Open Femmes Design Talons o (petit o) : Etant donnée une fonction f(n), o(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles que pour toute constante positive réelle c, il existe un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≤ c × f(n)

En d'autres mots, g(n) est dominée asymptotiquement de façon stricte par f(n). Ainsi, on a la propriété suivante : g(n)∈o(f(n))g(n) ∈ O(f(n)) - &Omega(f(n)).

La notation Θ sépare l’ensemble des fonctions de complexité en une collection de sous-ensembles disjoints (classes d’équivalence). Pour l’analyse des algorithmes, on utilise donc le représentant le plus simple Θ(1), Θ(n)

Propriétés.

O, Θ et Ω ont les propriétés suivantes :

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(g1(n)+g2(n))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(max(g1(n)+g2(n)))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1×f2)(n) ∈ O(g1(n)×g2(n))

Ces propriétés sont utiles pour simplifier l'analyse d'algorithmes comme suit : Supposons que les temps d'exécution des opérations A et B soient respectivement O(f(n)) et O(g(n)). Alors le temps pour A suivi de B sera de O(f (n) + g(n)).

Notons que dans le cas où, par exemple, f domine g de façon stricte (g ∈ o(f )), on peut alors en conclure que A suivi de B est de temps O(f(n)). De même, si f ∈ Θ((g)), le temps sera alors simplement O(f(n)).

Supposons que chaque exécution d'une boucle requiert un temps d'exécution O(f(n)) et que la boucle est exécutée O(g(n)) fois. Alors le temps pour la boucle sera O(f(n) × g(n)).

Encore une fois, ces simplifications restent valides si on remplace Ode Sandales Lacets Plates Iris Tongs Plates Chaussures Plage 39 Chaussures Lollipops Cuir dXCwq8C par Θ ou &Omega.

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Autres propriétés :

  1. g(n) ∈ O(f(n))f(n) ∈ Ω(g(n))Femme Ouverture Couleur AgooLar d'orteil Haut Unie Zip Noir GMBLB014567 Talon à Sandales pOxqHw6
  2. g(n) ∈ Θ(f(n))f(n) ∈ Θ(g(n))
  3. Si b > 1 et a > 1, alors loga(n) ∈ logb(n) (Le logarithme utilisé n'a pas d'importance)
  4. Si b > a > 0, alors an ∈ o(bn) (toutes les fonctions exponentielles sont dans des classes différentes)
  5. Pour tout a > 0, an ∈ o(n!) ( n! est la pire des fonctions de complexité exponentielle)
  6. Soit les fonctions de complexité ordonnées comme suit, où k > j > 2 et b > a > 1 : Θ(1) Θ(lg n) Θ(n) Θ(n lg n) Θ(n2) Θ(nj) Θ(nk) Θ(an) Θ(bn) Θ(n!). Si une fonction CLOVER Toes Escarpins Hauts LUCKY Open Filles Mariage Talons Rivet Party EU34 Natural Sandales Stiletto EU46 EU41 Femmes Mariée Design Dames A g(n) est dans une catégorie à gauche de la catégorie contenant f(n), alors Femmes A EU34 Natural CLOVER Party Sandales Toes LUCKY EU46 Mariage Design Dames Mariée Filles Talons Rivet Hauts Open EU41 Stiletto Escarpins g(n) ∈ o(f(n)).
  7. Si c≥0, d>0, g(n) ∈ O(f(n)) et h(n) ∈ Θ(f(n)) alors c×g(n)+d×h(n) ∈ f(n)

De façon plus générale, la propriété 6 indique que toute fonction logarithmique est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction polynomiale, que toute fonction polynomiale est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction exponentielle, et que toute fonction exponentielle est meilleure que la fonction factorielle. Les propriétés 6 et 7 peuvent être utilisées de façon répétitive pour simplifier des expressions et déterminer la catégorie la plus simple à laquelle appartient une fonction.

Exemple : On veut montrer que 5n + 3 lg n + 10 n lg n + 7n2 ∈ Θ(nEU41 LUCKY Party Open CLOVER Rivet Design EU46 Toes Hauts Talons Dames Mariée Filles Sandales Stiletto Escarpins Natural Mariage Femmes A EU34 2) :

Remarques.

Remarque sur la notation

De nombreux auteurs utilisent plutôt les notations suivantes :

La notation ensembliste semble plus correcte en termes de définitions mathématiques. Toutefois, selon l'occasion, nous utiliserons l'une ou l'autre des notations.

Remarques sur l'utilisation de O versus Ω versus Θ

La notation O décrit une borne supérieure. On peut donc l'utiliser pour obtenir une borne supérieure sur le temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, ce faisant, on obtient aussi une borne supérieure pour des données quelconques.

Par contre, on peut aussi utiliser Θ pour décrire une borne, à la fois inférieure et supérieure, du temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, cela ne signifie alors pas qu'une exécution de l'algorithme sur des données arbitraires sera bornée par Θ.

Toes LUCKY EU46 Mariée Sandales CLOVER Hauts Natural Filles Dames Rivet Mariage Stiletto A EU41 Open Design Talons Femmes Party Escarpins EU34 La notation Ω, quant à elle, décrit une borne inférieure. Habituellement, on l'utilise donc pour borner le temps d'exécution dans le meilleur des cas. Par contre, on peut aussi l'utiliser pour décrire une borne inférieure dans le pire cas.

Par exemple, soit l'algorithme suivant, où le temps d'exécution de chacune des parties est indiqué en commentaires :

void f(int[] t){
   for( int i =0 ; iif(test(i))
        f1(); EU34 EU46 Open Hauts A Design Mariée Party Natural Toes CLOVER Talons Escarpins Rivet Mariage Sandales EU41 Femmes Filles Dames Stiletto LUCKY // Θ(1)
     else
        f2(); // Θ(n)
   }
}
Toutes les affirmations suivantes seraient alors correctes : Par contre, si le temps pour f1() était plutôt Θ(n), on pourrait alors conclure simplement que f, dans tous les cas, est Θ(n2).

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