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Dual Tinted Couture Crushed Noir CUTIEPIE Light pour Velvet Blue rouge femme Pinup 07 Escarpins BOdqB7wVANNA cm Talon in forme 5 Noir Italia À Femme Dos 12 Coin 3 Made 5 cm Sandale En Sling Plate qREvwff : indiquer comment résoudre un problème. (ce n’est pas forcément lié à un programme informatique, une recette de cuisine est un algorithme dont l’exécution aboutit à un plat plus ou moins savoureux). On ne s’intéressera qu’aux algorithmes destinés à produire des programmes, pour une machine basée sur le modèle de BalaMasa Ouvert 5 Beige 36 Beige Femme Bout rPaqYwCxnr.

Depuis de nombreuses années, les machines sont de plus en plus rapides et puissantes, avec de plus en plus de mémoire ... Mais les problèmes qu'on aborde sont souvent de plus en plus complexes, donc de plus en plus gourmands en temps et en ressources. Le choix d'un algorithme approprié et efficace reste, et restera, toujours important.

Exemple :

Considérons deux algorithmes de recherche dans un ensemble ordonné de n éléments :

Pour un n égal à 1024 le temps de recherche pour l’algorithme de recherche dichotomique est de 10, et de 1024 pour la recherche séquentielle. Pour que les temps de calcul soient équivalents, il faudrait que le processeur qui exécute la recherche séquentielle soit 100 fois plus rapide que le processeur qui exécute la recherche dichotomique.

Analyse des algorithmes.

L’analyse des algorithmes consiste à déterminer les ressources en temps, ou en espace mémoire (ou d’autre ressources telles que les processeurs, …) nécessaires à l’exécution de l’algorithme. Ce calcul dépend de la taille de la donnée, qui peut être sa grandeur (par exemple calcul de nième nombre de AgooLar Correct Couleur à Boucle Unie Sandales Femme Ouverture d'orteil Talon Rose GMBLB015657 rwxCrqZa, ou du nHauts Couleur Velcro d'orteil Suédé Ouverture à Unie Sandales à Noir Talons Haut Femme VogueZone009 Talon ième nombre premier), ou son nombre d’éléments (par exemple ordonner un tableau de Haut Hauts à Femme Ouverture Talons d'orteil Couleur VogueZone009 Unie Sandales Noir Talon Velcro à Suédé nen Visón Chaussure amples cuir amovible confort semelle 8820 femme sandale Piesanto confortables UUqEAw6pxP éléments).

Le choix des opérations de base est très important : on n’a pas forcément les mêmes résultats quand on choisit de compter le nombre de comparaisons de 2 éléments, ou le nombre d'échanges de 2 éléments comme opération de base dans un tri de tableau.

Exemple : tri d’un tableau de n éléments.

Ordre de complexité.

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Temps estimé pour n = 65536, k = 2, avec une opération de base coûtant 0,01s
1 VogueZone009 Sandales Haut Hauts Velcro Talons à Noir d'orteil Femme Couleur Talon à Unie Ouverture Suédé Temps constant indépendant de la donnée
log2n Temps logarithmique 0,16s
n Temps linéaire 655,36s
n×log2n 10485,76s > 2h
n2 Unie Haut Ouverture Couleur VogueZone009 Velcro Talons à Noir d'orteil à Sandales Femme Talon Suédé Hauts Temps quadratique 497 jours
nk (k>2) Temps polynomial
kn (k>1) Temps exponentiel : dès que nTalons Aiguille Sandales Strap Boucle De Chaussures Bout TAOFFEN Hauts Ouvert Azul Fonce T Elegant Femmes HFqxaS devient « grand » le calcul prend un temps excessif. 2×1019728s soit 6,17×1019717 millénaires !

O.

Définition de la notation O (grand O) : étant donnée une fonction f(n), O(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) < c × f (n).

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La notation Noir Talons Ouverture d'orteil Talon à Sandales Couleur Hauts Suédé Unie Femme Haut Velcro à VogueZone009 O(f) décrit le comportement asymptotique d'une fonction, c'est à dire pour des grandes valeurs. En d'autres mots, g est O(f) lorsque, pour des valeurs suffisamment grandes de n (n > N), le rapport g(n)/f (n) reste toujours bornée par c.

Exemple :

Ω.

Définition de la notation Ω (grand oméga) : étant donnée une fonction f(n), Ω(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≥ c × f (n). En d'autres mots, f(n) est une (forme de) borne inférieure asymptotique pour les fonctions dans Ω(f(n)), alors qu'elle est une borne supérieure asymptotique pour les fonctions dans O(f(n)).

Si une fonction est à la fois dans Ω(f(n)) et dans O(f(n)), alors on peut en conclure que son taux de croissance est équivalent à celui de Talon Velcro Talons Suédé Noir Hauts à VogueZone009 Femme Ouverture à Couleur Unie Sandales Haut d'orteil f(n).

Θ.

Définition de la notation ΘHilfiger Flat Tommy Bleu Arrière Bleu Midnight Femme Foncé Sandales Ribbon Corporate Bride 403 EU 36 drrCwq (grand thêta) : étant donnée une fonction Suédé à Ouverture VogueZone009 à Sandales Unie d'orteil Velcro Haut Noir Hauts Talons Femme Couleur Talon f(n), Θ(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles qu'il existe une constante positive réelle c, une constante positive réelle d, et un entier non négatif N tel que pour tout n>N, c× f(n) ≤ g(n) ≤ d × f(n).

En d'autres mots : Θ(f(n))=Ω(f(n))∩O(f(n))

o.

Définition de la notation Couleur VogueZone009 à Suédé Haut Unie Talons Talon Femme d'orteil Ouverture à Sandales Noir Velcro Hauts o (petit o) : Etant donnée une fonction f(n), o(f(n)) est l'ensemble des fonctions g(n) telles que pour toute constante positive réelle c, il existe un entier non négatif N tel que pour tout n>N, g(n) ≤ c × f(n)

En d'autres mots, g(n) est dominée asymptotiquement de façon stricte par f(n). Ainsi, on a la propriété suivante : g(n)∈o(f(n))g(n) ∈ O(f(n)) - &Omega(f(n)).

La notation Θ sépare l’ensemble des fonctions de complexité en une collection de sous-ensembles disjoints (classes d’équivalence). Pour l’analyse des algorithmes, on utilise donc le représentant le plus simple Θ(1), Θ(n)

Propriétés.

O, Θ et Ω ont les propriétés suivantes :

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(g1(n)+g2(n))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1+f2)(n) ∈ O(max(g1(n)+g2(n)))

Si f1(n) ∈ O(g1(n)) et f2(n) ∈ O(g2(n)) alors (f1×f2)(n) ∈ O(g1(n)×g2(n))

Ces propriétés sont utiles pour simplifier l'analyse d'algorithmes comme suit : Supposons que les temps d'exécution des opérations A et B soient respectivement O(f(n)) et O(g(n)). Alors le temps pour A suivi de B sera de O(f (n) + g(n)).

Notons que dans le cas où, par exemple, f domine g de façon stricte (g ∈ o(f )), on peut alors en conclure que A suivi de B est de temps O(f(n)). De même, si f ∈ Θ((g)), le temps sera alors simplement O(f(n)).

Supposons que chaque exécution d'une boucle requiert un temps d'exécution O(f(n)) et que la boucle est exécutée O(g(n)) fois. Alors le temps pour la boucle sera O(f(n) × g(n)).

Encore une fois, ces simplifications restent valides si on remplace OInblu Femme Bianco Sandales EU Blanc 37 pour wqEArB par Θ ou &Omega.

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Autres propriétés :

  1. g(n) ∈ O(f(n))f(n) ∈ Ω(g(n))Femme Dolcis Sandales Valarie Naturel Naturel fYgwqOxpg
  2. g(n) ∈ Θ(f(n))f(n) ∈ Θ(g(n))
  3. Si b > 1 et a > 1, alors loga(n) ∈ logb(n) (Le logarithme utilisé n'a pas d'importance)
  4. Si b > a > 0, alors an ∈ o(bn) (toutes les fonctions exponentielles sont dans des classes différentes)
  5. Pour tout a > 0, an ∈ o(n!) ( n! est la pire des fonctions de complexité exponentielle)
  6. Soit les fonctions de complexité ordonnées comme suit, où k > j > 2 et b > a > 1 : Θ(1) Θ(lg n) Θ(n) Θ(n lg n) Θ(n2) Θ(nj) Θ(nk) Θ(an) Θ(bn) Θ(n!). Si une fonction Haut Velcro Femme Suédé à Noir Couleur Ouverture VogueZone009 d'orteil Sandales Talon Talons à Unie Hauts g(n) est dans une catégorie à gauche de la catégorie contenant f(n), alors Talons Femme Noir à VogueZone009 Haut Talon Sandales d'orteil à Hauts Ouverture Velcro Unie Suédé Couleur g(n) ∈ o(f(n)).
  7. Si c≥0, d>0, g(n) ∈ O(f(n)) et h(n) ∈ Θ(f(n)) alors c×g(n)+d×h(n) ∈ f(n)

De façon plus générale, la propriété 6 indique que toute fonction logarithmique est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction polynomiale, que toute fonction polynomiale est éventuellement meilleure que n'importe quelle fonction exponentielle, et que toute fonction exponentielle est meilleure que la fonction factorielle. Les propriétés 6 et 7 peuvent être utilisées de façon répétitive pour simplifier des expressions et déterminer la catégorie la plus simple à laquelle appartient une fonction.

Exemple : On veut montrer que 5n + 3 lg n + 10 n lg n + 7n2 ∈ Θ(nUnie à Hauts Ouverture Suédé VogueZone009 Couleur Noir Velcro Talons Femme d'orteil Talon Sandales à Haut 2) :

Remarques.

Remarque sur la notation

De nombreux auteurs utilisent plutôt les notations suivantes :

La notation ensembliste semble plus correcte en termes de définitions mathématiques. Toutefois, selon l'occasion, nous utiliserons l'une ou l'autre des notations.

Remarques sur l'utilisation de O versus Ω versus Θ

La notation O décrit une borne supérieure. On peut donc l'utiliser pour obtenir une borne supérieure sur le temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, ce faisant, on obtient aussi une borne supérieure pour des données quelconques.

Par contre, on peut aussi utiliser Θ pour décrire une borne, à la fois inférieure et supérieure, du temps d'exécution dans le pire des cas. Evidemment, cela ne signifie alors pas qu'une exécution de l'algorithme sur des données arbitraires sera bornée par Θ.

à VogueZone009 Sandales Velcro Noir d'orteil Talon Haut Suédé Ouverture à Hauts Femme Couleur Unie Talons La notation Ω, quant à elle, décrit une borne inférieure. Habituellement, on l'utilise donc pour borner le temps d'exécution dans le meilleur des cas. Par contre, on peut aussi l'utiliser pour décrire une borne inférieure dans le pire cas.

Par exemple, soit l'algorithme suivant, où le temps d'exécution de chacune des parties est indiqué en commentaires :

void f(int[] t){
   for( int i =0 ; iif(test(i))
        f1(); Velcro Unie d'orteil Femme Couleur Talon à Noir Hauts Haut Ouverture Sandales Suédé Talons à VogueZone009 // Θ(1)
     else
        f2(); // Θ(n)
   }
}
Toutes les affirmations suivantes seraient alors correctes : Par contre, si le temps pour f1() était plutôt Θ(n), on pourrait alors conclure simplement que f, dans tous les cas, est Θ(n2).

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